Калькулятор линейных систем и квадратных уравнений
Введите коэффициенты линейного или квадратного уравнения либо расширенную матрицу линейной системы до 6×6. Получите точные решения над R, их классификацию и ход решения. Произвольные выражения и нелинейные системы не поддерживаются.
Как вводить коэффициенты
Выберите режим и перенесите числа в форму со своими знаками. Например, −7,5x + 2,25 = 0 задаётся a = −7,5 и b = 2,25. Для ax² + bx + c = 0 нужны три коэффициента. Выражения, скобки и названия функций в полях не вычисляются. Пустое поле нужно заполнить, даже если нужный коэффициент равен нулю.
Числа и точные дроби
Поддерживаются целые, десятичные числа до 12 дробных знаков и дроби вроде −3/7 с положительным целым знаменателем. Модуль числа и числителя — до 10¹², знаменатель — от 1 до 10¹². Точка и запятая равноправны; экспонента, разделители тысяч и деление на ноль не принимаются. Все коэффициенты хранятся точно, без машинного округления.
Линейное уравнение и вырождение
Для ax + b = 0 при a ≠ 0 получаем x = −b/a. Если a = 0 и b = 0, подходит любое действительное x. При a = 0 и b ≠ 0 равенство противоречиво и решений нет. В квадратном режиме при a = 0 решается bx + c = 0: формула с делением на 2a не используется.
Дискриминант и кратность
В квадратном уравнении D = b² − 4ac вычисляется точно. При D < 0 действительных корней нет; комплексные корни не входят в этот калькулятор. D = 0 даёт один корень кратности 2, D > 0 — два различных корня. Ответы перечислены по возрастанию, в том числе при отрицательном a. Например, 6x² + x − 2 = 0 имеет D = 49 и корни −2/3 и 1/2.
Линейная система, RREF и ранги
В таблице сначала идут коэффициенты при x₁…xₙ, затем свободный член b. Можно задать 1–6 уравнений и 1–6 неизвестных; число строк не обязано совпадать с числом неизвестных. Точное приведение к RREF использует перестановку строк, ненулевое масштабирование и прибавление кратной другой строки. rank A и rank [A|b] показаны отдельно. Если rank A < rank [A|b], система несовместна; равные ранги n дают единственное решение.
Бесконечное множество решений
Если ранги равны, но меньше n, ответ имеет вид x = p + Σ(tⱼvⱼ), где все параметры tⱼ принадлежат R. Вектор p — одно частное решение, а vⱼ — направления однородной системы. Количество параметров равно n − rank A. Свободные переменные названы явно. Полностью нулевая система допускает любой вектор из Rⁿ, а не только нулевой.
Точность и проверка ответа
Рациональные корни и матрицы показаны сокращёнными дробями; иррациональные корни сохраняют точную радикальную форму. Приближение — до 10 значащих цифр с HalfUp, то есть середины округляются от нуля. Оно подтверждается рациональными границами квадратного корня. При исчерпании конечного бюджета уточнения вместо сомнительного числа показывается гарантированный интервал. Точная классификация от приближения не зависит. Проверить систему можно подстановкой: A·p = b, A·vⱼ = 0.
Ограничения и сохранение
Это не универсальная система компьютерной алгебры: свободные выражения, нелинейные системы, неравенства и комплексные числа не поддерживаются. Шаги и RREF раскрываются отдельно, итог виден сразу. Save по вашему действию сохраняет весь ввод, точные ответы, матрицы, шаги и версию. Краткая страница по ссылке может направить к полному восстановлению длинного ответа; сам снимок не усекается. Open не пересчитывает его. Любой обладатель ссылки сможет прочитать исходные данные и результат.
Частые вопросы
Можно ли вставить уравнение целиком?
Нет. В P0 вводятся только коэффициенты. Сначала приведите линейное или квадратное уравнение к стандартному виду, а систему — к линейным уравнениям с одинаковым порядком переменных.
Можно ли использовать дроби и запятую?
Да: например, −3/7, 0,125 и 0.125. Числитель целый со знаком, знаменатель — положительный целый. Запятая обозначает десятичную часть, а не разделитель тысяч.
Пустое поле означает ноль?
Нет. Введите 0 явно. Так пропущенный коэффициент не превратится в другую задачу незаметно.
Что будет при a = 0 в квадратном режиме?
Калькулятор решит линейное bx + c = 0. При b = c = 0 ответ — все действительные числа, при b = 0 и c ≠ 0 решений нет.
Почему при отрицательном D нет корней?
Результат ограничен действительными числами R. При D < 0 квадратный корень не является действительным, а комплексные решения вне P0.
Что означает кратность 2?
При D = 0 два формальных корня совпадают. Показан один действительный корень с указанием кратности 2.
Можно задать больше уравнений, чем неизвестных?
Да. Поддерживаются прямоугольные системы до 6 строк и 6 неизвестных. Согласованность определяется точными рангами, а не сравнением числа строк и столбцов.
Что означает бесконечно много решений?
Ответ задаёт все решения через частный вектор и базис направлений. Параметры могут принимать любые действительные значения; один частный вектор не является полным ответом.
Что означают нулевые строки и столбцы?
Нулевая строка с нулевым свободным членом не добавляет ограничения. Нулевая строка коэффициентов с ненулевым b даёт противоречие. Нулевой столбец может соответствовать свободной переменной; деления на ноль из-за него нет.
Почему точный корень выглядит длинным?
Крупный радикал не факторизуется перебором ради сокращения записи. Точная форма сохранена, а рядом дано доказанно округлённое приближение либо гарантированный интервал.
Изменение размера матрицы удалит данные?
Общие ячейки и свободные члены сохраняются. Перед удалением заполненных строк или столбцов появится подтверждение. Без него уменьшение отменяется.
Что сохраняется по кнопке Save?
Полный нормализованный ввод, точный результат, матрицы, параметризация, шаги и версия метода. Open читает снимок без расчётного запроса. После редактирования нужно пересчитать перед новым Save.
Кто может прочитать ссылку на результат?
Любой обладатель ссылки. Не сохраняйте конфиденциальные коэффициенты. Обычный расчёт передаёт ввод серверу, но не создаёт сохранённую запись сам по себе.