Калькулятор производных
Найдите производную первого, второго или третьего порядка с условиями, шагами и проверкой точки.
Введите функцию одной переменной и выберите порядок 1–3. Получите производную, применённые правила, ограничения всех этапов и проверку точки. Работаем с вещественными функциями и радианами.
Как ввести функцию
Введите выражение без f(x)=. Поддержаны одна переменная x, t или u, скобки, числа, pi и e. Выбор другой переменной не переименовывает исходный текст.
Произведение и деление
Пишите 2*x или 2x, 2(x+1), (x+1)(x-1), 2sin(x). Неоднозначное 2/3x отклоняется: укажите (2/3)*x либо 2/(3*x). Пробел не объединяет два числа.
Минус и степень
-x^2 означает -(x^2), а (-x)^2 — квадрат отрицательного выражения. Степени правоассоциативны: x^2^3 означает x^(2^3). Показатель 4/2 вычисляется точно как 2.
Числа и научная запись
Допустимы точка или запятая в одном числе: 1.5 и 1,5. 1e-3 означает 0.001, 2e3 — 2000. Для произведения с константой e пишите 2*e*3. Смешанные разделители отклоняются.
Функции и радианы
Поддержаны sin, cos, tan/tg, cot/ctg, exp, ln, lg/log10 и sqrt. Функциям нужны скобки аргумента. Тригонометрические аргументы задаются в радианах; ln — натуральный, lg — десятичный логарифм.
Исходная область сохраняется
Сокращение x/x до 1 не разрешает x=0. Упрощение 0*ln(x) до 0 сохраняет x>0. Общая нецелая или переменная степень рассматривается при положительном основании; это ограничение модели, а не доказательство отсутствия всех вещественных ветвей.
Корни и особые точки
sqrt(x^2)=|x|: в нуле нет обычной первой производной, а значит и второй или третьей. sqrt(x^4)=x^2: в нуле производные равны 0, 2 и 0. Упрощённая формула не отменяет условия предыдущих этапов.
Порядки 1–3 и шаги
Выберите первую, вторую или третью производную. Шаги отражают реально применённые правила суммы, произведения, частного, степени и сложной функции. Если шагов больше лимита, вывод явно отмечен как сокращённый; итог и условия сохраняются полностью.
Статус в точке
Точка — константное выражение, например -2, 1/2 или pi/2. Отдельно показываются допустимое значение, неопределённость исходной функции, доказанное несуществование двусторонней производной, неподдержанная ветвь, неустановленное существование и численная ненадёжность. Отсутствие значения не заменяется нулём.
Точность, ограничения и сохранение
Коэффициенты по возможности точны; численные значения функций приближённые binary64. Сложный ввод отклоняется по бюджету. Комплексные, частные, неявные производные, произвольные abs/piecewise и полный решатель областей не входят в этот калькулятор. Save сохраняет исходный ввод, результат, условия и версии. Open не пересчитывает снимок; новая модель используется только по явной кнопке.
Частые вопросы
Как записать произведение и степень?
Используйте * и ^. Разрешены контролируемые неявные произведения 2x и 2sin(x). Для деления со склеенным произведением расставьте скобки явно: (2/3)*x или 2/(3*x).
Чем -x^2 отличается от (-x)^2?
Минус имеет меньший приоритет, чем степень: -x^2=-(x^2). Скобки в (-x)^2 включают минус в основание степени.
Что означают ln и lg?
ln — натуральный логарифм; lg и log10 — десятичный. Неоднозначный log без основания не поддержан. Аргумент функции нужно заключать в скобки.
В каких единицах задавать углы?
В радианах. Например, pi/2. Переключателя градусов в этом P0 нет.
Как различаются 1e-3 и константа e?
1e-3 — один числовой литерал 0.001. Константа e задаётся отдельным именем; её произведение с числами записывайте явно: 2*e*3.
Можно ли найти вторую и третью производную?
Да, выберите порядок 1, 2 или 3. Для высшего порядка сохраняются условия всех предыдущих производных. Произвольный порядок не поддержан.
Почему после сокращения остаются ограничения?
Исходная функция не меняется от записи упрощённого ответа. Например, (x^2-1)/(x-1) всё ещё не определена при x=1, даже если формула производной допускает подстановку.
Почему формула не всегда даёт значение в особой точке?
Формула может быть доказана только при дополнительных условиях. В нуле sqrt(x^2) недифференцируема, а sqrt(x^4) имеет производные 0, 2 и 0. Если метод не устанавливает особый случай, это сообщается отдельно от доказанного несуществования.
Можно ли использовать t или u и отрицательные основания?
Выберите одну из x, t, u; другие буквы не становятся константами. Целые положительные степени допускают отрицательное основание; отрицательные целые требуют ненулевого основания. Общие степени используют положительную ветвь.
Изменится ли сохранённый результат после обновления?
Open показывает исходный снимок и версии без пересчёта. Редактирование создаёт черновик; явный расчёт использует текущую модель. Публичная проекция компактна, полный результат доступен через Open. Ссылка доступна каждому её обладателю.