Линейная интерполяция и экстраполяция — калькулятор
Линейная интерполяция по двум точкам или таблице, точная дробь и график.
Введите две точки или таблицу и один x запроса. Получите значение линейного метода, точную дробь, выбранные узлы и график с детализацией.
Как пользоваться
Выберите две точки или таблицу из 2–100 строк. Введите десятичные координаты и один x запроса. Нажмите «Рассчитать интерполяцию». Пресеты учебные и только заполняют форму. Изменение поля, режима, строки или опции скрывает старый результат; пересчёт выполняется отдельной кнопкой.
Формула по двум точкам
Для разных xL и xR вычисляются t=(x−xL)/(xR−xL), y=yL+t×(yR−yL) и slope=(yR−yL)/(xR−xL). Это одна прямая через две точки; наклон определён также в её концах. Например, для (−3,75;8,4), (6,25;−1,6), x=1,125 получается точно y=141/40=3,525.
Таблица и выбор соседнего сегмента
Таблица сохраняет введённые строки и ID в исходном порядке. Для вычисления сервер отдельно сортирует точки по точным x и выбирает только соседний интервал, содержащий запрос. Это кусочно-линейная ломаная, а не один полином через всю таблицу и не регрессия. В таблице (7;9), (−2;4), (1;−5), (4;1) при x=2,5 используется отрезок от (1;−5) до (4;1), ответ −2.
Точный узел и повторяющиеся x
При совпадении с x узла возвращается его введённое y. В таблице единственный сегмент и наклон в узле не назначаются: слева и справа могут быть разные наклоны. Для x=4 в примере ответ1, соседние наклоны2 и8/3. Все x должны быть различны точно:1,1.0 и1,000 означают один x; −0 и0 совпадают. Близкие разные x не объединяются по допуску.
Экстраполяция за пределы таблицы
По умолчанию запрос вне диапазона отклоняется. Явная опция разрешает продолжить первый сегмент слева или последний справа. Ближайшее y не подставляется, результат не ограничивается диапазоном y. Для таблицы из примера x=−3 даёт7, x=10 даёт17. Это продолжение отрезка, а не подтверждённый прогноз неизвестной функции.
Десятичный ввод и точность ответа
Координаты и запрос: абсолютное значение до10¹⁵, до12 дробных знаков и32 символов без внешних пробелов. Точка или запятая — десятичный разделитель:1,000 означает1. Плюс, экспонента, разделители тысяч и внутренние пробелы не принимаются. Арифметика рациональная, полная сокращённая дробь доступна в деталях. Главное число округляется до12 значащих цифр HalfUp, для отрицательной половины — от нуля. Знак ≈ означает только фактическое округление. Точная научная запись1e−39 не становится нулём или приближением. Для периодической дроби полная десятичная запись не обещается.
График, масштаб и совпадающие проекции
Обзор показывает узлы, ломаную, запрос и выбранный сегмент; продолжение при экстраполяции отличается штриховой линией и подписью. Детализация показывает выбранный отрезок отдельно, а для узла — соседние отрезки. Экран имеет ограниченное разрешение: близкие разные x при большом разбросе могут попадать в один пиксель или иметь одинаковые округлённые подписи. Предупреждение и точная таблица помогают различить их; точки искусственно не сдвигаются. График вспомогательный, точные значения главные.
Ошибка модели, ограничения и сохранение
Формула линейной интерполяции в NIST DLMF3.3.14 содержит остаточный член для исходной функции. Точное вычисление по введённым точкам не делает этот остаток известным или нулевым. Без дополнительных сведений нельзя дать численную границу ошибки или обещать достоверный прогноз. Этот калькулятор не выполняет сплайны, нелинейные методы, обратную интерполяцию, регрессию и пакетные запросы. При расчёте данные отправляются серверу. Кнопка сохранения создаёт снимок полного активного ввода и результата; его видит каждый обладатель ссылки. При открытии снимок не пересчитывается текущим методом. Для изменённого ввода нужен явный пересчёт.
Частые вопросы
Что такое линейная интерполяция?
Это значение на прямом отрезке между соседними известными точками. Для таблицы каждый соседний интервал образует свой отрезок.
Как рассчитать по двум точкам?
Введите x0,y0,x1,y1 и x запроса, затем нажмите кнопку расчёта. Координаты x двух точек должны различаться. Перестановка точек не меняет итоговый y.
Нужно ли заранее сортировать таблицу?
Нет. Исходный порядок строк и ID сохраняется для формы. Сервер строит отдельный точный порядок по x и выбирает соседние узлы запроса.
Что происходит при точном совпадении с узлом?
Возвращается введённое y узла. У таблицы в таком месте не выбирается один сегмент, t или slope: соседние наклоны могут отличаться. У двух точек одна прямая известна и в концах.
Почему 1, 1.0 и 1,000 считаются дублями x?
Это одно математическое число. Запятая является десятичным разделителем, а не разделителем тысяч. Дубли x запрещены даже при одинаковых y; −0 и0 также совпадают.
Как разрешить экстраполяцию?
Включите опцию «Разрешить экстраполяцию». Слева продолжается первый сегмент, справа последний. По умолчанию запрос вне диапазона отклоняется.
Почему результат помечен знаком приближения?
Основное отображение использует до12 значащих цифр с HalfUp. Знак ≈ появляется только при изменении точного значения этим форматированием. Полная сокращённая дробь остаётся доступной; научная запись сама по себе не означает округление.
Почему близкие точки на графике выглядят совпавшими?
На общем масштабе различие может оказаться меньше пикселя. Это ограничение экрана, а не равенство исходных x. Откройте точную таблицу и смотрите отдельную детализацию выбранного отрезка; предупреждение указывает на потерю различимости.
Это регрессия или точный прогноз функции?
Нет. Ломаная проходит через введённые узлы и не подбирает статистический тренд. Ошибка неизвестной реальной функции не определяется одной точной арифметикой. Без дополнительных условий численная оценка ошибки и надёжность прогноза неизвестны.
Что сохраняется и кто видит снимок?
По кнопке сохраняются все активные строки с порядком и ID, запрос, опция, точные результаты, графики и версии. Снимок доступен каждому обладателю ссылки. Открытие восстанавливает его без нового расчёта; редактирование требует отдельного пересчёта.