Калькулятор интегралов
Первообразные поддержанных элементарных функций и собственные определённые интегралы через найденную первообразную. Условия исходной функции сохраняются; допустимость проверяется на всём замкнутом интервале. Ограничения метода доступны до расчёта: это не универсальная CAS и не вычисление несобственных интегралов.
Ввод функции и выбор переменной
Введите только выражение, без знака интеграла, f(x)= и dx. Выберите x, t или u; изменение выбора не переименовывает текст автоматически. Числа допускают точку, запятую и научную запись, константы — pi, π, e. Функциям нужны скобки. Пример 2sin(x) читается как произведение; неоднозначное 2/3x нужно заменить на (2/3)*x или 2/(3*x).
Что означает первообразная
Результат F(v)+C означает, что производная F равна введённой функции при показанных условиях. Константа может различаться на разных связных промежутках области определения. Например, для 1/x получается ln(abs(x))+C при x≠0, а не единая функция с произвольно восстановленной точкой нуля.
Определённый интеграл и границы
Во втором режиме сначала ищется первообразная, затем доказывается непрерывность исходной функции на всём замкнутом интервале. Только после сертификата применяется F(b)−F(a). Границы конечны и имеют вид q0+q1*pi с рациональными коэффициентами. Обратные границы меняют знак; равные дают ноль только после проверки исходной функции в этой точке.
Исходная область определения
Ограничения собираются до упрощений. У x/x сохраняется x≠0, у 0*ln(x) — x>0, у exp(ln(x)) — x>0. Проверяются знаменатели, логарифмы, корни и полюса tan/cot на всём интервале, а не только в концах или по сетке. 0^0 считается неопределённым.
Поддержанные формулы
P0 включает линейность, постоянные множители, полиномы до степени 50, целые степени −50…50 выражения a*v+b, обратную величину, корень и обратный корень, exp, sin, cos, tan, cot, ln и lg с линейным аргументом. a,b рациональны. Для c/(d+(a*v+b)^2), d>0, используется арктангенс. При a=0 сначала проверяется постоянное выражение, деления на ноль нет.
Проверенные примеры
Для 4*x^3−5*x+7 на [−2,3] интеграл равен 175/2. Для sqrt(x) на [0,1] ответ 2/3: недифференцируемость корня в нуле не запрещает этот собственный интеграл. У 1/sqrt(x) на [0,1] собственный метод P0 неприменим, но это не утверждение о расходимости несобственного интеграла. Для 1/x на [−1,1] нельзя выдавать ноль или главное значение.
Ограничения и точность
Нет универсальной CAS, произвольной квадратуры, комплексных значений, несобственных интегралов, графиков или PDF. Неудача распознавания не доказывает отсутствия первообразной. Точное рациональное значение и приближение с ≈ разделены. Если binary64 ненадёжен, десятичное значение отсутствует, а доказанное точное выражение сохраняется: exp(1000) не заменяется на INF, NaN или ноль. Слишком сложный ввод получает адресное объяснение.
Сохранение и конфиденциальность
Расчёт отправляет выражение на сервер, но сам его не сохраняет. Явная кнопка Save создаёт неизменяемый снимок исходного ввода, метода, условий и результата, включая отсутствие числа. Обладатель ссылки может увидеть данные; noindex не ограничивает доступ. Open восстанавливает снимок без пересчёта; редактирование требует отдельного Recalculate. Copy содержит условия и ограничения, Share передаёт только сохранённую ссылку.
Частые вопросы
Как вводить интеграл?
Введите только функцию, например sin(2*x+1), и выберите переменную. Знак интеграла, dx и f(x)= не нужны. Для определённого интеграла отдельно включите границы.
Почему выбор t не заменил x в выражении?
В P0 текст автоматически не переписывается: это могло бы повредить имена функций. Введите t сами или используйте учебный пресет, задающий выражение и переменную вместе.
Что означает +C?
Это произвольная постоянная интегрирования. На разных связных промежутках исходной области она может быть разной.
Как получен определённый интеграл?
Через найденную первообразную по формуле F(b)−F(a), только после доказательства допустимости исходной функции на всём замкнутом интервале.
Почему x/x нельзя безусловно заменить на 1?
Сокращение не восстанавливает исключённую точку x=0. Поэтому интеграл на интервале с этой точкой не подтверждается собственным методом P0.
Какие границы поддержаны?
Конечные выражения q0+q1*pi с рациональными q0 и q1: −2, 1/2, pi/2, 2*pi+1. Произвольные корни, e и бесконечность в границах не входят в этот выпуск.
Поддерживаются ли несобственные интегралы?
Нет. Отказ для 1/sqrt(x) на [0,1] означает границу собственного метода P0, а не доказательство расходимости: соответствующий несобственный интеграл существует.
Почему точный ответ есть, а десятичного нет?
Математическая определённость и возможности binary64 различаются. Например, exp(1000) — точное действительное выражение, но его обычное float-значение не представимо. Отсутствие числа не заменяется нулём.
Означает ли отказ метода, что первообразной не существует?
Нет. P0 распознаёт перечисленные классы. Для другой функции он объясняет ограничение метода и не интегрирует только удобные слагаемые вместо всей суммы.
Что сохраняют Save и Copy?
Save фиксирует доверенный серверный снимок ввода, метода, условий, сертификата и результата. Copy передаёт текст с существенными ограничениями. Обладатель сохранённой ссылки видит данные; Open не запускает расчёт.